Entrar | Registrarse

Análisis matemático ll

Trabajo de Análisis matemático ll

Introducción

El presente trabajo contiene abundantes aspectos teóricos de Análisis Matemático. Además sirve para afilar la mente con el objetivo de alcanzar la indispensable independencia intelectual. La obra incorpora aspectos que hacen directamente a la historia del pensamiento matemático.





Objetivos

  1. Determinar los conjuntos numéricos abarca el Análisis Matemático
  2. Identificar los aportes de la derivada a las ecuaciones diferenciales
  3. Determinar En qué consiste la sucesión de Cauchy

1) ¿Cuáles conjuntos numéricos abarca el Análisis Matemático?

El Análisis Matemático trata fundamentalmente con funciones de números reales y números complejos. Es fundamental conocer las propiedades de ambos sistemas numéricos. Para ello se procede construyendo los diversos conjuntos numéricos desde el conjunto de los números naturales hasta el de los complejos.

2) ¿Cómo fue aproximado el número pi?

El número π fue aproximado usando el método exhaustivo, el cual consiste en un procedimiento geométrico-matemático de aproximación a un resultado, con el cual el grado de precisión aumenta en la medida en que avanza el cálculo.

A continuación presento la historia de aproximación al π :

El número se define como la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Se puede calcular una aproximación de forma experimental. Puedes coger un recipiente redondo (por ejemplo, un bote de conservas) y medirlo. Yo he obtenido para la longitud de la circunferencia 26'7 cm, y para el diámetro 8'5 cm. He realizado la división y el cociente es 3'141176... (téngase en cuenta el error experimental). Los objetos redondos (ruedas, recipientes,...) han sido utilizados por el hombre desde hace miles de años. En algún momento debieron darse cuenta de que ese 3'14... que aparece siempre que manejamos circunferencias, círculos y esferas es un número que podemos utilizar para calcular longitudes, áreas y volúmenes.

Los antiguos egipcios (hacia 1600 a. de C.) ya sabían que existía una relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro; y entre el área del círculo y el diámetro al cuadrado (seguramente de forma intuitiva). En el Papiro de Rhind puede leerse lo siguiente: "Corta 1/9 del diámetro y construye un cuadrado sobre la longitud restante. Este cuadrado tiene el mismo área que el circulo". Es decir, el área del círculo (llamémosla A) es igual al cuadrado de 8/9 del diámetro (d=2r), A = d2*64/81 = 4r2*64/81 = r2*256/81. Esto equivale a decir que asignaban a el valor 256/81, aproximadamente 3'16. En Mesopotamia, más o menos por la misma época, los babilonios utilizaban el valor 3'125 (3+1/8) según queda registrado en la Tablilla de Susa.

Los geómetras de la Grecia clásica conocían que la razón entre la longitud de una circunferencia cualquiera y su diámetro es siempre constante (el número al que ahora llamamos pi). También conocían y habían conseguido demostrar que tanto la razón entre el área de un círculo y su diámetro al cuadrado, como la del volumen de una esfera al cubo de su diámetro eran constantes (desconocidas en aquel momento, libro XII de "Los Elementos"). Fue Arquímedes (siglo III a. de C.) quien determinó que estas constantes estaban estrechamente relacionadas con. Además, utilizó el método de exhaución, inscribiendo y circunscribiendo polígonos de hasta 96 lados y consiguiendo una magnífica aproximación (si tenemos en cuenta los medios con los que contaba), 3+10/71

3) ¿Cuándo se origina el análisis en Europa?

La Matemática del Siglo XVIII y XIX en Europa: período donde surgen las ecuaciones diferenciales, los estudios de las curvas, los números complejos, la teoría de las ecuaciones, el cálculo de variaciones, la trigonometría esférica, el cálculo de probabilidades y la mecánica. La resolución de los problemas planteados al principio del siglo por Leibniz y Newton, las cuadraturas y la integración de las ecuaciones diferenciales hacen grandes progresos.

4) ¿En qué consiste la sucesión de Cauchy?

Una sucesión de Cauchy es una sucesión tal que para cualquier distancia dada, por muy pequeña que sea, siempre se puede encontrar un término de la sucesión tal que la distancia entre dos términos cualesquiera posteriores es menor que la dada. Es importante no confundirlo con las sucesiones en las que la distancia entre dos términos consecutivos es cada vez menor, pues estas no son convergentes necesariamente. Se llama así en honor al matemático francés Augustin Louis Cauchy (1805). El interés de las sucesiones de Cauchy radica en que en un espacio métrico completo todas las sucesiones de Cauchy son convergentes, siendo en general más fácil verificar que una sucesión es de Cauchy que obtener el punto de convergencia.

5) Escribe los aportes de la derivada a las ecuaciones diferenciales.

Niels Abel: El matemático noruego Niels Henrik Abel (1802-1829) hizo aportes en ecuaciones integrales, funciones elípticas, álgebra (probó que las ecuaciones polinómicas de quinto grado no tienen soluciones exactas. Identidad de Abel.

Daniel Bernoulli: El suizo Daniel Bernoulli (1700-1792) hace aportes en dinámica de fluidos (principio de Bernoulli), probabilidad, mecánica (incluyendo el problema de la cuerda vibrante).

Jacques Bernoulli: Jacques Bernoulli (1654-1705), suizo, hace aportes a la mecánica, geometría, astronomía, probabilidad, cálculo de variaciones y problemas de la braquistócrona. La ecuación de Bernoulli fue propuesta por él en 1695 pero resuelta independientemente por Leibniz y su hermano Jean. Cadena colgante (catenaria).

Jean Bernoulli: Jean Bernoulli (1667-1748), matemático suizo, resuelve problemas de trayectorias ortogonales en 1698, mecánica, problema tautócrono; propuso y resolvió el problema de la baquistrócona (también resuelto por su hermano Jacques). Introdujo la idea del factor integrante.

Friedrich Bessel: Friedrich Wilhelm Bessel (1784-1846), alemán, hace aportes en astronomía, calculó la órbita del cometa Halley; introdujo las funciones de Bessel y en 1817 estudió el trabajo de Kepler.

Augustin Cauchy: El francés Augustin Louis Cauchy (1789-1857) hace aportes en cálculo de probabilidades, cálculo de variaciones, óptica, astronomía, mecánica, elasticidad, análisis matemático. Creó la teoría de variable compleja (1820) y aplicó su teoría a las ecuaciones diferenciales.

Pafnuti Chebyshev: El ruso Pafnuti Liwovich Chebyshev (1821-1894) trabaja en teoría de números (números primos), probabilidad, funciones ortogonales, polinomios de Chebyshev.


Alexis Clairaut: El francés Alexis Claude Clairaut (1713-1765) hace aportes a la geometría, establece la ecuación de Clairaut y soluciones singulares (1734), astronomía, el problema de los 3 cuerpos, calculó con precisión (1759) el perihelio del cometa Halley.

Jean D’Alembert: El francés Jean le Rond D’Alembert (1717-1783) hace aportes a la mecánica incluyendo el problema de la cuerda vibrante. Dinámica de fluidos, ecuaciones diferenciales parciales.

Peter Dirchlet: Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859), alemán, hace aportes en teoría de números, mecánica de fluidos, análisis matemático; estableció condiciones para la convergencia de las series de Fourier

Leonhard Euler: Leonhard Euler (1707-1783), suizo, fue el más prolífico de los matemáticos del siglo XVIII a pesar de sus impedimentos físicos (perdió un ojo en 1735 y quedó totalmente ciego en 1768), hace aportes a la mecánica, análisis matemático, teoría de números, geometría, dinámica de fluidos, astronomía, óptica, desarrolló (1739) la teoría de las ecuaciones diferenciales lineales, identidades de Euler, inventó la función gamma.

Joseph Fourier: El francés Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) descubre las series de Fourier en las investigaciones sobre el flujo de calor en 1822; acompañó a Napoleón en la campaña de Egipto (1798).

Ferdinand Frobenius: El alemán Ferdinand George Frobenius (1849-1917) estudia los métodos de series para resolver ecuaciones diferenciales; aportes en álgebra y teoría de grupos.

Karl Gauss: El alemán Karl Friedrich Gauss (1777-1855) fue uno de los grandes matemáticos del siglo XIX. Hace aportes a la teoría de números, astronomía, electricidad y magnetismo, óptica, geometría, ecuación hipergeométrica.

George Green: El inglés George Green(1793-1841) hace aportes a la física matemática, óptica, electricidad y magnetismo, originó el término “potencial”, función de Green.

Oliver Heaviside: El inglés Oliver Heaviside (1850-1925) hace aportes al electromagnetismo, sugirió la presencia de la capa atmosférica ahora llamada ionosfera; métodos operacionales no rigurosos para resolver ecuaciones diferenciales.

Charles Hermite: El francés Charles Hermite (1822-1901) estudia la teoría de números, prueba (1873) la trascendencia de e, funciones elípticas, álgebra, polinomios de Hermite.

David Hilbert: Matemático alemán, David Hilbert (1862-1943) hace aportes al álgebra, ecuaciones integrales, cálculo de variaciones, lógica, espacio de Hilbert, propuso muchos problemas, algunos todavía sin solución.

Christian Huygens: Matemático, astrónomo y físico holandés, Christian Huygens (1629-1695) estudia vibraciones, óptica, teoría matemática de ondas. Construye un reloj de péndulo basado en la cicloide (1673), astronomía.

Johannes Kepler:El alemán Johannes Kepler (1571-1630) hace aportes a la geometría, especialmente encontrando áreas que ayudaron a la formulación de sus 3 leyes del movimiento planetario.